Función Cuadrática

En matemáticas, ¿A qué se le conoce como una función cuadrática o función de segundo grado?

Es una función polinómica en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

¿Cómo se representa una función cuadrática? La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

Gráficas de funciones cuadráticas.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática: como en toda función, son los valores de x, para los cuales F(X)=0. Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: X1 Y X2 dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ∆=b² -4ac.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

Una solución real doble si el discriminante es cero:

-b/2a

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

y= f(0) =a · 0² + b · 0 + c

Lo que resulta.

Representación gráfica

Corte con el eje y

y=  f(0)  =c

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

y = ax² + bx + c

Se tiene que:

 y =0 → ax² + bx +c = 0

Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremos

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.Dada la función en su forma desarrollada:  f(x) = ax² + bx + cl , a coordenada x

el vértice será simplemente:     . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: f(x) = a(x-h)² + k  las coordenadas explícitas del vértice son: (h, k).